Cálculo Exemplos

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $5 x^{4} + 20 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} + 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} + 60 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{2}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $60 x$ de $60 x^{2} + 120 x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $60 x$ de $60 x^{2}$ .

$60 x (x) + 120 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $60 x$ de $120 x$ .

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $60 x$ de $60 x (x) + 60 x (2)$ .

$60 x (x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $60 x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $20$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $- 2$ em $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $20$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 80 - 160$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $160$ de $80$ .

$f (- 2) = - 80$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $- 80$ .

$- 80$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ é $(- 2, - 80)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, - 80)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $60$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $120$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

Etapa 6.2.2

Subtraia $252$ de $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $12.6$ .

$12.6$

Etapa 6.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $12.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $60$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $120$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

Etapa 7.2.2

Subtraia $120$ de $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 60$ .

$- 60$

Etapa 7.3

Em $- 1$ , a segunda derivada é $- 60$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, 0)$ .

Decréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $60$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $120$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

Etapa 8.2.2

Some $0.6$ e $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $12.6$ .

$12.6$

Etapa 8.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $12.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

Etapa 10