Cálculo Exemplos

$3 \sqrt{x} \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Etapa 1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$3 (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 13

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2

Combine os termos.

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Etapa 15.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.2

Combine $3$ e $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$