Cálculo Exemplos

$36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

Etapa 1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ .

$36 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 7)}^{2}] + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{4} + 7$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{4} + 7$ .

$36 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{4} + 7$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + 0)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3})) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$36 (x^{3} (24 (3 x^{4} + 7) x^{3}) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x^{3}$ .

$36 (x^{3} x^{3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 (x^{3 + 3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.3

Some $3$ e $3$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} (3 x^{2}))$

Etapa 7

Mova $3$ para a esquerda de ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + 3 \cdot {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4})) + x^{6} (24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}))) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4

Combine os termos.

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Etapa 8.4.1

Multiplique $3$ por $24$ .

$36 (x^{6} (72 x^{4})) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.2

Multiplique $x^{6}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.2.1

Mova $x^{4}$ .

$36 (x^{4} x^{6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 (x^{4 + 6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.2.3

Some $4$ e $6$ .

$36 (x^{10} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.3

Mova $72$ para a esquerda de $x^{10}$ .

$36 (72 \cdot x^{10}) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.4

Multiplique $72$ por $36$ .

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.5

Multiplique $24$ por $7$ .

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} \cdot 168) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.6

Mova $168$ para a esquerda de $x^{6}$ .

$2592 x^{10} + 36 (168 \cdot x^{6}) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.7

Multiplique $168$ por $36$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Etapa 8.4.8

Multiplique $3$ por $36$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2}$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

Etapa 8.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.6.1

Reescreva ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ como $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} ((3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7))$

Etapa 8.6.2

Expanda $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4} + 7) + 7 (3 x^{4} + 7))$

Etapa 8.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4} + 7))$

Etapa 8.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 8.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3.1.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.6.3.1.2.1

Mova $x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4 + 4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3.1.2.3

Some $4$ e $4$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3.1.4

Multiplique $7$ por $3$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3.1.5

Multiplique $3$ por $7$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 7 \cdot 7)$

Etapa 8.6.3.1.6

Multiplique $7$ por $7$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 49)$

Etapa 8.6.3.2

Some $21 x^{4}$ e $21 x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 42 x^{4} + 49)$

Etapa 8.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8}) + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

Etapa 8.6.5

Simplifique.

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Etapa 8.6.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

Etapa 8.6.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 108 x^{2} \cdot 49$

Etapa 8.6.5.3

Multiplique $49$ por $108$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.6.6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.6.6.1.1

Mova $x^{8}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 (x^{8} x^{2}) + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{8 + 2} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6.1.3

Some $8$ e $2$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6.2

Multiplique $108$ por $9$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.6.6.3.1

Mova $x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 (x^{4} x^{2}) + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{4 + 2} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6.3.3

Some $4$ e $2$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{6} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.6.6.4

Multiplique $108$ por $42$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.7

Some $2592 x^{10}$ e $972 x^{10}$ .

$3564 x^{10} + 6048 x^{6} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

Etapa 8.8

Some $6048 x^{6}$ e $4536 x^{6}$ .

$3564 x^{10} + 10584 x^{6} + 5292 x^{2}$