Cálculo Exemplos

$3 x \arctan (5 x)$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x \arctan (5 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \arctan (5 x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 (x)$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ e $x$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Combine $5$ e $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ por $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

Etapa 4.8

Multiplique $\arctan (5 x)$ por $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

Etapa 5

Para escrever $\arctan (5 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 7

Combine $3$ e $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique $\arctan (5 x)$ por $1$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $25$ por $3$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8.3.2

Reordene os fatores em $15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$