Cálculo Exemplos

$5 e^{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 10

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $5$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}$ e $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1

Mova $5$ para a esquerda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 12.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$