Cálculo Exemplos

$5 {\sin (x)}^{x}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 {\sin (x)}^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${\sin (x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}]$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({\sin (x)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$5 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (\sin (x))}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (\sin (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (\sin (x))$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (\sin (x))$ .

$5 (e^{x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Etapa 8.2

Multiplique $\ln (\sin (x))$ por $1$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$