Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 18 x$ .

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Etapa 1.3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Fatore $x$ de $- 18 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 18$ .

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$x (x - 18) = 0$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Etapa 2.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.3

Defina $x - 18$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Defina $x - 18$ como igual a $0$ .

$x - 18 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x = 18$

Etapa 2.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 18) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 18$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$ em $x = 0$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 9}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 9}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 9}$

Etapa 3.2.3

Divida $0$ por $- 9$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$ em $x = 18$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $18$ na expressão.

$f (18) = \frac{{(18)}^{2}}{(18) - 9}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Eleve $18$ à potência de $2$ .

$f (18) = \frac{324}{18 - 9}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $9$ de $18$ .

$f (18) = \frac{324}{9}$

Etapa 4.2.3

Divida $324$ por $9$ .

$f (18) = 36$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $36$ .

$36$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$ são $y = 0, y = 36$ .

$y = 0, y = 36$

Etapa 6