Cálculo Exemplos

$10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Etapa 1.2

Como $10000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10000$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2500 x]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 2500$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2500 x$ em relação a $x$ é $- 2500 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2500 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2500 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $- 2500$ por $1$ .

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 + x^{2}}$ como ${(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Como $3750$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 + x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 + x^{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 + x^{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))$

Etapa 3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))$

Etapa 3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))$

Etapa 3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))$

Etapa 3.12

Some $0$ e $2 x$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))$

Etapa 3.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))$

Etapa 3.14

Combine $2$ e $\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Etapa 3.15

Combine $\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Etapa 3.16

Mova ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.17

Cancele o fator comum.

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.18

Reescreva a expressão.

$0 - 2500 + 3750 \frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.19

Combine $3750$ e $\frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 - 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Subtraia $2500$ de $0$ .

$- 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2500$