Cálculo Exemplos

$16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Etapa 1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $2$ por $16$ .

$32 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 0)$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x)$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $32$ .

$64 (x^{2} + y^{2}) x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(64 x^{2} + 64 y^{2}) x$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$64 x^{2} x + 64 y^{2} x$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$64 (x^{1} x^{2}) + 64 y^{2} x$

Etapa 4.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$64 x^{1 + 2} + 64 y^{2} x$

Etapa 4.3.3

Some $1$ e $2$ .

$64 x^{3} + 64 y^{2} x$