Cálculo Exemplos

$x e^{x} \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 5.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x}) + \sin (x) e^{x}$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$e^{x} x \cos (x) + e^{x} x \sin (x) + e^{x} \sin (x)$