Cálculo Exemplos

$\frac{x - 5}{x^{5}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{5} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x^{5} - (x - 5) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 2.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 5 (x - 5) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 2.7.2

Fatore $x^{4}$ de $x^{5} - 5 (x - 5) x^{4}$ .

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Etapa 2.7.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} x - 5 (x - 5) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $x^{4}$ de $- 5 (x - 5) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x + x^{4} (- 5 (x - 5))}{x^{10}}$

Etapa 2.7.2.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} x + x^{4} (- 5 (x - 5))$ .

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{10}}$

Etapa 3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 5 (x - 5)}{x^{6}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 5 x - 5 \cdot - 5}{x^{6}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{x - 5 x + 25}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 4 x + 25}{x^{6}}$

Etapa 4.3

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 25}{x^{6}}$

Etapa 4.4

Reescreva $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 25)}{x^{6}}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 x - 25)}{x^{6}}$

Etapa 4.6

Reescreva $- (4 x - 25)$ como $- 1 (4 x - 25)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 25)}{x^{6}}$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x - 25}{x^{6}}$