Cálculo Exemplos

$\frac{x y}{8 x + 3 y}$

Etapa 1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x y}{8 x + 3 y}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{8 x + 3 y}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{8 x + 3 y}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 8 x + 3 y$ .

$y \frac{(8 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \frac{(8 x + 3 y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $8 x + 3 y$ por $1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $8$ por $1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 + 0)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique os termos.

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Etapa 3.8.1

Some $8$ e $0$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x \cdot 8}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - 8 x}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Subtraia $8 x$ de $8 x$ .

$y \frac{3 y + 0}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.8.4

Some $3 y$ e $0$ .

$y \frac{3 y}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 3.8.5

Combine $y$ e $\frac{3 y}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{y (3 y)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (y^{1} y)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (y^{1} y^{1})}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 y^{1 + 1}}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 y^{2}}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$