Cálculo Exemplos

$\frac{x + 8}{x + 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 8$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 3 - (x + 8)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 3 - x - 1 \cdot 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Combine os termos opostos em $x + 3 - x - 1 \cdot 8$ .

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Etapa 3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 3 - 1 \cdot 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Some $0$ e $3$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{3 - 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$\frac{- 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{{(x + 3)}^{2}}$