Cálculo Exemplos

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = t x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t x$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t x$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 2.2

Como $t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $t x$ em relação a $x$ é $t \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 2.4

Multiplique $t$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

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Etapa 3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

Etapa 3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

Etapa 3.4

Some $1$ e $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

Etapa 3.5

Como $3 t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 t x^{2}$ em relação a $x$ é $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $t x$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

Etapa 4.2.3

Some $1$ e $2$ .

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$