Cálculo Exemplos

$x^{5} \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5} \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{5} \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$x^{5} \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

Etapa 3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$x^{5} (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

Etapa 4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$x^{5} (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{5} (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \cos (x) + \sin (x) (5 x^{4}))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

Etapa 10.2

Combine os termos.

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Etapa 10.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

Etapa 10.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

Etapa 10.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

Etapa 10.2.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (5 x^{4})$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$- x^{5} \sin^{2} (x) + x^{5} \cos^{2} (x) + 5 x^{4} \cos (x) \sin (x)$