Cálculo Exemplos

$x^{- 7 \cos (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{- 7 \cos (x)}$ como $e^{\ln (x^{- 7 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{- 7 \cos (x)})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{- 7 \cos (x)})$ movendo $- 7 \cos (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 7 \cos (x) \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 7 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 7 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Etapa 3

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 \cos (x) \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Etapa 6

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Etapa 7

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{\cos (x)}{x} - 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{\cos (x)}{x}) + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Etapa 8.3

Combine os termos.

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Etapa 8.3.1

Combine $- 7$ e $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \frac{- 7 \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Etapa 8.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- \frac{7 \cos (x)}{x}) + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Etapa 8.3.3

Combine $e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}$ e $\frac{7 \cos (x)}{x}$ .

$- \frac{e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (7 \cos (x))}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Etapa 8.3.4

Mova $7$ para a esquerda de $e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}$ .

$- \frac{7 \cdot e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Etapa 8.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$- \frac{7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (7 \ln (x)) \sin (x)$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$