Cálculo Exemplos

$x^{e x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{e x}$ como $e^{\ln (x^{e x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{e x})$ movendo $e x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{e x \ln (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e x \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e x \ln (x)$ .

$e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Etapa 3

Como $e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e x \ln (x)$ em relação a $x$ é $e \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{e x \ln (x)} (e \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Etapa 4

Multiplique $e^{e x \ln (x)}$ por $e$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $e$ .

$e e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 4.2

Multiplique $e$ por $e^{e x \ln (x)}$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$e^{1} e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{1 + e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 7.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 7.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x))$