Cálculo Exemplos

$x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.4

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 2.5.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x e^{x}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x}$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 x e^{x} - 3 e^{x}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores em $2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$ .

$2 x \ln (x) - 3 x e^{x} + x - 3 e^{x}$