Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{3 - x^{3} + y + 2}$

Etapa 1

Some $3$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{- x^{3} + y + 5}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{- x^{3} + y + 5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{- x^{3} + y + 5}] + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = y$ e $g = - x^{3} + y + 5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 5 - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (0 ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- x^{3} + y + 5$ por $0$ .

$x^{2} (0 y^{- x^{3} + y + 4} + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2

Multiplique $0$ por $y^{- x^{3} + y + 4}$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + y + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{2} ((\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} ((- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} ((- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.8

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.9

Some $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.11

Some $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} (- 3 x^{2} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.3

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} (2 x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reordene os termos.

$- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$

Etapa 7.2

Reordene os fatores em $- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$ .

$- 3 x^{4} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y) + 2 x y^{- x^{3} + y + 5}$