Cálculo Exemplos

$x^{2} e^{7 x y}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{7 x y}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{7 x y}] + e^{7 x y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x y$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x y]) + e^{7 x y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [7 x y]) + e^{7 x y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x y$ .

$x^{2} (e^{7 x y} \frac{d}{d x} [7 x y]) + e^{7 x y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $7 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x y$ em relação a $x$ é $7 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{7 x y} (7 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{7 x y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{7 x y} (7 y \cdot 1)) + e^{7 x y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$x^{2} (e^{7 x y} (7 y)) + e^{7 x y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (e^{7 x y} (7 y)) + e^{7 x y} (2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$7 e^{7 x y} x^{2} y + 2 e^{7 x y} x$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $7 e^{7 x y} x^{2} y + 2 e^{7 x y} x$ .

$7 x^{2} y e^{7 x y} + 2 x e^{7 x y}$