Cálculo Exemplos

$f (x) = (2 x - 1) (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = \ln (5 x + 1) + x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1) + x^{2}] + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Some $5$ e $0$ .

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{5 x + 1}$ e $5$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + 2 x) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 5

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ .

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{2 x (5 x + 1)}{5 x + 1}) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + 0)$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $2$ e $0$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \cdot 2$

Etapa 12.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + 2 \cdot (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Etapa 13.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Etapa 13.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Etapa 13.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Etapa 13.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{1 + 1} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Etapa 13.3.5

Some $1$ e $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Etapa 13.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

Etapa 13.4

Reordene os termos.

$2 x^{2} + (2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1)$