Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{7} \sqrt{7 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 7 x$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 1.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 7$

Etapa 1.5

Multiplique $7$ por $7$ .

$u_{upper} = 49$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 49$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{49} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{49}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $49$ e em $0$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2$ por $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 6.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Etapa 6.2.11

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Etapa 6.2.12

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0)$

Etapa 6.2.13

Some $\frac{686}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{686}{3}$

Etapa 6.2.14

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{686}{3}$ .

$\frac{686}{7 \cdot 3}$

Etapa 6.2.15

Multiplique $7$ por $3$ .

$\frac{686}{21}$

Etapa 6.2.16

Cancele o fator comum de $686$ e $21$ .

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Etapa 6.2.16.1

Fatore $7$ de $686$ .

$\frac{7 (98)}{21}$

Etapa 6.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.16.2.1

Fatore $7$ de $21$ .

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Etapa 6.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Etapa 6.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{98}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{98}{3}$

Forma decimal:

$32.\overline{6}$

Forma de número misto:

$32 \frac{2}{3}$

Etapa 8