Cálculo Exemplos

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}} (5 - u^{6})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ é $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ , em que $f (u) = u^{\frac{1}{2}}$ e $g (u) = 5 - u^{6}$ .

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

$u^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Como $5$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $5$ em relação a $u$ é $0$ .

$u^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [- u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- u^{6}$ em relação a $u$ é $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ .

$u^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$u^{\frac{1}{2}} (- (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $u^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{5}$ .

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.4

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6.2

Some $10$ e $1$ .

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Mova $- 6$ para a esquerda de $u^{\frac{11}{2}}$ .

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 13

Mova $u^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Combine os termos.

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Etapa 14.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.2

Combine $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ e $u^{6}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.3

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4

Multiplique $u^{6}$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.2.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.3

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.4.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.5.2

Subtraia $1$ de $12$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.5

Para escrever $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.6

Combine $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.8

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.9

Subtraia $u^{\frac{11}{2}}$ de $- 12 u^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Reordene os termos.

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$