Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{t^{2} + 2}{2 t - 7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2} + 2$ e $g (t) = 2 t - 7$ .

$\frac{(2 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(2 t - 7) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 t - 7) (2 t + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(2 t - 7) (2 t + 0) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{(2 t - 7) (2 t) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 t - 7$ .

$\frac{2 \cdot (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 7]}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t - 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 7])}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - (t^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 t - 7) t - 2 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (2 t) + 2 \cdot - 7) t - 2 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 7 t - 2 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.1.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 t^{2} + 2 \cdot - 7 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$\frac{4 t^{2} - 14 t - 2 t^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 t^{2} - 14 t - 2 t^{2} - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $2 t^{2}$ de $4 t^{2}$ .

$\frac{2 t^{2} - 14 t - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $2 t^{2} - 14 t - 4$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $2$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{2 (t^{2}) - 14 t - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Fatore $2$ de $- 14 t$ .

$\frac{2 (t^{2}) + 2 (- 7 t) - 4}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 (- 7 t) + 2 \cdot - 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.4

Fatore $2$ de $2 t^{2} + 2 (- 7 t)$ .

$\frac{2 (t^{2} - 7 t) + 2 \cdot - 2}{{(2 t - 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.5

Fatore $2$ de $2 (t^{2} - 7 t) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (t^{2} - 7 t - 2)}{{(2 t - 7)}^{2}}$