Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 3}$ e $g (t) = 3 t^{2} + t$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (- 3 {(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} ({(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Etapa 3.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1

Combine ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ e $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{{(3 t^{2} + t)}^{- 4} \cdot - 3}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Etapa 3.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.1

Mova $- 3$ para a esquerda de ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 4}}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Etapa 3.2.2.2

Mova ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Etapa 3.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$

Etapa 3.8

Reordene os fatores de $- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$ .

$- (6 t + 1) \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}}$