Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{8 t}{8 + \sqrt{t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 8 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $8 + t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10

Combine $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $t$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Etapa 11.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.4

Some $- 1$ e $2$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12

Para escrever $t^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13

Combine $t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 15

Mova $2$ para a esquerda de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 16

Subtraia $t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 17

Multiplique $\frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{2}{2} \cdot \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 18

Combine.

$8 \frac{2 (8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 19

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.1

Cancele o fator comum.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 20.2

Reescreva a expressão.

$8 \frac{2 \cdot 8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 21

Multiplique $2$ por $8$ .

$8 \frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 22

Combine $8$ e $\frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{8 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 23

Fatore $2$ de $8 (16 + t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 24

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 24.1

Fatore $2$ de $2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 24.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 24.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 25

Simplifique.

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Etapa 25.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 16 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 25.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$\frac{64 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 25.3

Reordene os termos.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Etapa 25.4

Fatore $4$ de $4 t^{\frac{1}{2}} + 64$ .

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Etapa 25.4.1

Fatore $4$ de $4 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}}) + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Etapa 25.4.2

Fatore $4$ de $64$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

Etapa 25.4.3

Fatore $4$ de $4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16$ .

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}} + 16)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$