Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $25000$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ em relação a $t$ é $25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$ .

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ como ${(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}$ .

$25000 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$25000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (- {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $25000$ .

$- 25000 ({(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$

Etapa 3.5

Como $11$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $11 e^{- 0.54 t}$ em relação a $t$ é $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}])$

Etapa 3.6

Multiplique $11$ por $- 25000$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 0.54 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Etapa 5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 0.54$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.54 t$ em relação a $t$ é $- 0.54 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (- 0.54 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.2

Multiplique $- 0.54$ por $- 275000$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \cdot 1)$

Etapa 5.4

Multiplique $e^{- 0.54 t}$ por $1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reordene os fatores de $148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ e $148500$ .

$\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}} e^{- 0.54 t}$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ e $e^{- 0.54 t}$ .

$\frac{148500 e^{- 0.54 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$