Cálculo Exemplos

$f (t) = - 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Etapa 1

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ em relação a $t$ é $- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$- 3 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{8} - 1)}^{7}] + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{7}$ e $g (t) = 5 t^{8} - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$- 3 (t (7 u^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t^{8} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{8}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.4

Multiplique $8$ por $5$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + 0)) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $40 t^{7}$ e $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7})) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.6.2

Multiplique $40$ por $7$ .

$- 3 (t (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6} t^{7}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- 3 (t^{7} t^{1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 (t^{7 + 1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 7

Some $7$ e $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \cdot 1)$

Etapa 9

Multiplique ${(5 t^{8} - 1)}^{7}$ por $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Etapa 10.2

Multiplique $280$ por $- 3$ .

$- 840 (t^{8} ({(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Etapa 10.3

Fatore $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6} - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Etapa 10.3.2

Fatore $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $- 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$

Etapa 10.3.3

Fatore $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ de $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8} - (5 t^{8} - 1))$