Cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{2} x$ .

$5 {(\frac{1}{2} x)}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \cdot 1$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{2^{4}}$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{16}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{x^{4}}{16}$ .

$\frac{5 x^{4}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{5 x^{4}}{32}$