Cálculo Exemplos

$f (x) = (3 x^{2} + 7) (x^{2} - 2 x + 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x^{2} + 7$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 3$ .

$(3 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3] + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.11

Multiplique $2$ por $3$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.12

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + 0)$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $6 x$ e $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x)$

Etapa 2.13.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{2} - 2 x + 3$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + 6 \cdot (x^{2} - 2 x + 3) x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1