Cálculo Exemplos

$f (x) = (4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 8$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 8 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 3.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 3.7

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 3.8

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + 0)$

Etapa 3.9

Some $8 x - 8$ e $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) + e^{x} \cdot - 8$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Mova $- 8$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) - 8 \cdot e^{x}$

Etapa 4.3.2

Some $- 8 x e^{x}$ e $e^{x} (8 x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 x e^{x} + 8 x e^{x} - 8 e^{x}$

Etapa 4.3.2.2

Some $- 8 x e^{x}$ e $8 x e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} + 0 - 8 e^{x}$

Etapa 4.3.3

Some $4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}$ e $0$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 e^{x}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $8 e^{x}$ de $8 e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 0$

Etapa 4.3.5

Some $4 x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$4 x^{2} e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $4 x^{2} e^{x}$ .

$4 e^{x} x^{2}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $4 e^{x} x^{2}$ .

$4 x^{2} e^{x}$