Cálculo Exemplos

$f (x) = (3 x - 2) (4 x^{2} + 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x - 2$ e $g (x) = 4 x^{2} + 3$ .

$(3 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(3 x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$(3 x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x - 2) (8 x + 0) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $8 x$ e $0$ .

$(3 x - 2) (8 x) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.6.2

Mova $8$ para a esquerda de $3 x - 2$ .

$8 \cdot (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + 0)$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $3$ e $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \cdot 3$

Etapa 2.12.2

Mova $3$ para a esquerda de $4 x^{2} + 3$ .

$8 (3 x - 2) x + 3 \cdot (4 x^{2} + 3)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(8 (3 x) + 8 \cdot - 2) x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$24 (x^{1} x) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$24 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$24 x^{1 + 1} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$24 x^{2} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4.6

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$24 x^{2} - 16 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 3 \cdot 3$

Etapa 3.4.8

Multiplique $3$ por $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 9$

Etapa 3.4.9

Some $24 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$36 x^{2} - 16 x + 9$