Cálculo Exemplos

$f (x) = (4 x - 2) e^{2 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 4 x - 2$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$(4 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$(4 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(4 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$(4 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $(4 x - 2) e^{2 x}$ .

$2 \cdot ((4 x - 2) e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 3.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + 0)$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.9.1

Some $4$ e $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 4$

Etapa 3.9.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + 4 \cdot e^{2 x}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (4 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (4 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 x e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$8 x e^{2 x} - 4 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 4.3.3

Some $- 4 e^{2 x}$ e $4 e^{2 x}$ .

$8 x e^{2 x} + 0$

Etapa 4.3.4

Some $8 x e^{2 x}$ e $0$ .

$8 x e^{2 x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $8 x e^{2 x}$ .

$8 e^{2 x} x$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $8 e^{2 x} x$ .

$8 x e^{2 x}$