Cálculo Exemplos

$f (x) = {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ e $g (t) = 60 + 2 t$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $60 + 2 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $60 + 2 t$ .

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 6.3

Mova ${(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 + 2 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 8

Como $60$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $60$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 9

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 10

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Etapa 13

Multiplique $\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}}$