Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} \tan (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)] - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 7

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 8

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 11

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

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Etapa 11.1

Fatore $\sec (x)$ de $- x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 11.2

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$

Etapa 13

Combine $4$ e $\frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$ .

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.1

Fatore $4 x$ de $4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

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Etapa 14.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 (x^{2} \sec^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.1.2

Fatore $4 x$ de $4 (\tan (x) (2 x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2) - x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.2

Mova $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.3

Fatore $x$ de $x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.4

Fatore $x$ de $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.5

Fatore $x$ de $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{4 x (x \cdot 1 + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.7.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{4 x (x + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 14.2.9.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.2.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Etapa 14.3

Fatore $4 x$ de $4 x^{2} + 8 x \tan (x)$ .

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Etapa 14.3.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Etapa 14.3.2

Fatore $4 x$ de $8 x \tan (x)$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Etapa 14.3.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$