Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $k$ igual a $1$ .

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k - \sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 \sum_{k = 1}^{10} k$

Etapa 2.2

Avalie $\sum_{k = 1}^{10} 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$(9) (10)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $9$ por $10$ .

$90$

Etapa 2.3

Avalie $2 \sum_{k = 1}^{10} k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 2.3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Some $10$ e $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $10$ por $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Etapa 2.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 110$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $110$ .

$- 110$

Etapa 2.4

Adicione os resultados das somas.

$90 - 110$

Etapa 2.5

Subtraia $110$ de $90$ .

$- 20$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

$9 - 2 \cdot 1 + 9 - 2 \cdot 2$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$9 - 2 + 9 - 2 \cdot 2$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2$ de $9$ .

$7 + 9 - 2 \cdot 2$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$7 + 9 - 4$

Etapa 3.2.4

Subtraia $4$ de $9$ .

$7 + 5$

Etapa 3.2.5

Some $7$ e $5$ .

$12$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$- 20 - 12$

Etapa 5

Subtraia $12$ de $- 20$ .

$- 32$