Cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x - 4}{x + 2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x + 2$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Combine $\frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{(x + 2 - (x - 4)) \cdot 3}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Etapa 3.8.4

Mova $3$ para a esquerda de $x + 2 - (x - 4)$ .

$\frac{3 \cdot (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{3 (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x + 2 - x - - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 x + 6 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.5

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{0 + 6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.6

Some $0$ e $6$ .

$\frac{6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.7

Some $6$ e $12$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.8

Multiplique $\frac{18}{{(x + 2)}^{2}}$ por $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4.9

Multiplique ${(x + 2)}^{2}$ por ${(x + 2)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.9.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2 + 2}}$

Etapa 4.4.9.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{4}}$