Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{{(3 x - 5)}^{3}}{{(2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(3 x - 5)}^{3}$ e $g (x) = {(2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x - 5$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x - 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x - 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{3 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + 0) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.7.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \cdot 3 - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 4.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + 0))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.7.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.7.2

Mova $4$ para a esquerda de ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} (4 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 6.7.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Fatore ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ de $9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

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Etapa 7.1.1.1

Fatore ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ de $9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ de $- 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.1.3

Fatore ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ de ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1) - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2}) + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 16 (3 x) - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.6

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.7

Multiplique $- 16$ por $- 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x + 80) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x \cdot x + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.9.1

Mova $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 (x \cdot x) + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x^{2} + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.10

Subtraia $48 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 9 + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.1.11

Reordene os termos.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ e ${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ de ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Fatore ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ de ${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- 30 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.4

Fatore $- 1$ de $80 x$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) - (- 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- (30 x^{2}) - (- 80 x)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.6

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.7

Fatore $- 1$ de $- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.8

Reescreva $- (30 x^{2} - 80 x - 9)$ como $- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 7.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{{(3 x - 5)}^{2} (30 x^{2} - 80 x - 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$