Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{10}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 5)}^{7}$ e $g (x) = {(4 x - 1)}^{10}$ .

${(x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{10}] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{10}$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x - 1$ .

${(x + 5)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

${(x + 5)}^{7} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x - 1$ .

${(x + 5)}^{7} (10 {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $10$ para a esquerda de ${(x + 5)}^{7}$ .

$10 \cdot {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $4$ e $0$ .

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 3.7.2

Multiplique $4$ por $10$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 5$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 5$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Mova $7$ para a esquerda de ${(4 x - 1)}^{10}$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 \cdot {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + 0)$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \cdot 1$

Etapa 5.5.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Fatore ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9}$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

Etapa 6.1.2

Fatore ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de $7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$

Etapa 6.1.3

Fatore ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ de ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$ .

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$

Etapa 6.2

Reordene os fatores de ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$ .

${(4 x - 1)}^{9} {(x + 5)}^{6} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$