Cálculo Exemplos

$x^{3} < 9 x$

Etapa 1

Subtraia $9 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{3} - 9 x < 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - 9 x = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 9 x = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 3.3

Fatore.

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Etapa 3.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 3.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, 3$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} < 9 (- 6)$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 216$ é menor do que o lado direito $- 54$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{3} < 9 (- 2)$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 8$ não é menor do que o lado direito $- 18$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{3} < 9 (2)$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $8$ é menor do que o lado direito $18$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{3} < 9 (6)$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $216$ não é menor do que o lado direito $54$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 3$ ou $0 < x < 3$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$

Etapa 13