Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 54 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 54 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 54 x$ em relação a $x$ é $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 54$ por $1$ .

$6 x^{2} - 54$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 54$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 54)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 54$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} - 54 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 54 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 54 x$ em relação a $x$ é $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 54$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 54$ .

$6 x^{2} - 54$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 54 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 54 = 0$

Etapa 5.2

Some $54$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} = 54$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $6 x^{2} = 54$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $6 x^{2} = 54$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{54}{6}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{54}{6}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{6}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $54$ por $6$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3, - 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (3)$

Etapa 9

Multiplique $12$ por $3$ .

$36$

Etapa 10

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 2 {(3)}^{3} - 54 \cdot 3$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 2 \cdot 27 - 54 \cdot 3$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$f (3) = 54 - 54 \cdot 3$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 54$ por $3$ .

$f (3) = 54 - 162$

Etapa 11.2.2

Subtraia $162$ de $54$ .

$f (3) = - 108$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 108$ .

$y = - 108$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (- 3)$

Etapa 13

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$- 36$

Etapa 14

$x = - 3$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 3$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = 2 {(- 3)}^{3} - 54 \cdot - 3$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f (- 3) = 2 \cdot - 27 - 54 \cdot - 3$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 27$ .

$f (- 3) = - 54 - 54 \cdot - 3$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 54$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 54 + 162$

Etapa 15.2.2

Some $- 54$ e $162$ .

$f (- 3) = 108$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $108$ .

$y = 108$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} - 54 x$ .

$(3, - 108)$ é um mínimo local

$(- 3, 108)$ é um máximo local

Etapa 17