Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{9 + 4 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 9 + 4 x$ .

$\frac{(9 + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(9 + 4 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $9 + 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \cdot 1}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (4 x)) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 9 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 (x \cdot x)) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x^{2}) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{18 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{18 x + 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{4 x^{2} + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $2 x$ de $4 x^{2} + 18 x$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Fatore $2 x$ de $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x + 9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$