Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\log_{7} (x)}{x^{4}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \log_{7} (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3

A derivada de $\log_{7} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{x^{4} \frac{1}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $x$ de $x \ln (7)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x (\ln (7))} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$ por $\frac{\ln (7)}{\ln (7)}$ .

$\frac{\ln (7)}{\ln (7)} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Combine.

$\frac{\ln (7) (\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) (4 x^{3}))}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- 4 \log_{7} (x) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Simplifique $- 4 \log_{7} (x)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 9.1.2

Reordene os fatores em $x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})$ .

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{\ln (7) x^{8}}$

Etapa 9.2

Reordene os termos.

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

Etapa 9.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

Etapa 9.3.2

Fatore $x^{3}$ de $- x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

Etapa 9.3.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))$ .

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

Etapa 9.4

Expanda $\log_{7} (x^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{8} \ln (7)}$

Etapa 9.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.5.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8} \ln (7)$ .

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

Etapa 9.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x))}{x^{5} \ln (7)}$

Etapa 9.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 4 \ln (7) \log_{7} (x)}{x^{5} \ln (7)}$