Cálculo Exemplos

$f (x) = {(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$

Etapa 1

Reescreva ${(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$ como $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 7.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{3}{4}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 8.3

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + 0)$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x)$

Etapa 12.2

Combine $2$ e $\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Etapa 12.4

Combine $\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ e $x$ .

$\frac{6 x}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 12.5

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$