Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 7}{16 - x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 7$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

$\frac{(16 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $16 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $x^{2} + 7$ por $1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) (2 x)}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 7$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 16 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{32 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine os termos opostos em $32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{32 x + 0 + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Some $32 x$ e $0$ .

$\frac{32 x + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Some $32 x$ e $14 x$ .

$\frac{46 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.7.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Reordene $- x^{2}$ e $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(4^{2} - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = x$ .

$\frac{46 x}{{((4 + x) (4 - x))}^{2}}$

Etapa 3.7.4

Aplique a regra do produto a $(4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{46 x}{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}}$