Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{\cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\cos (x) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Multiplique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5.2.2

Reordene os fatores em $2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$