Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ como ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2} + 4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $8 x$ e $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

Etapa 3.6.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Etapa 4.2.3

Combine $x$ e $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4$ .

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Etapa 4.3.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Fatore $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Aplique a regra do produto a $4 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $8$ e $16$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $8$ de $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$