Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 1}{2 e^{x} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 e^{x} - 1$ e $g (x) = 2 e^{x} + 1$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1] - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + 0) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1

Some $2 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x}) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 e^{x} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.1

Some $2 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (2 e^{x}) + 2 \cdot 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} + (- 2 (2 e^{x}) - 2 \cdot - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Combine os termos opostos em $2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Subtraia $2 (2 e^{x}) e^{x}$ de $2 (2 e^{x}) e^{x}$ .

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} + 0 - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.1.2

Some $2 \cdot 1 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} + 2 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.5.3

Some $2 e^{x}$ e $2 e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$