Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{12 x}{x^{2} + 4}$

Etapa 1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{12 x}{x^{2} + 4}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

$12 \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x^{2} + 4$ por $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$12 \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 9

Combine $12$ e $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 12 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 48}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$