Cálculo Exemplos

$f (x) = | x^{2} - 4 |$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + 0)$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x)$

Etapa 2.4.2

Combine $2$ e $\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |} x$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |}$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Etapa 3.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Etapa 3.3.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$